Lineare Algebra

Der Erwerb einer soliden Beherrschung der linearen Algebra erfordert zunächst das Verständnis der Strukturen, die ihr Fundament bilden. Der vorliegende Band will dieses Verständnis durch eine Darstellung entwickeln, die theoretische Strenge mit der Beachtung operativer Aspekte verbindet. In jedem Kapitel werden Übungen vorgeschlagen, die in einem abschließenden Abschnitt des Buches vollständig gelöst werden.

Die Abhandlung entwickelt in organischer Weise das gesamte Programm eines universitären Kurses der linearen Algebra. Ausgangspunkt sind die operativen Grundlagen: lineare Gleichungssysteme, Gauß-Elimination, Matrizenrechnung und Determinantentheorie. Anschließend wird der begriffliche Kern des Faches aufgebaut: die axiomatische Definition des Vektorraums, der Steinitzsche Austauschsatz, der Begriff von Basis und Dimension, die Grassmannsche Dimensionsformel. Die linearen Abbildungen übersetzen diese Strukturen in die Sprache der zugeordneten Matrizen und des Basiswechsels. Die folgenden Kapitel behandeln Eigenwerte, Diagonalisierung und ihre Anwendungen, Matrixpotenzen, rekursive Folgen, Differentialgleichungssysteme, um dann die Theorie des Skalarprodukts, die euklidischen Räume, das Gram-Schmidt-Verfahren und den Spektralsatz für reelle symmetrische Matrizen zu entwickeln. Der Band schließt mit den Bilinear- und quadratischen Formen, der Klassifikation der Kegelschnitte und Quadriken sowie der Jordanschen Normalform mit der Matrixexponentialfunktion.

Der Aufbau ist sequentiell und progressiv angelegt: jedes Kapitel verwendet das Material der vorangegangenen und führt neue Begriffe schrittweise ein. Jedes wichtige Ergebnis wird bewiesen; jeder Definition folgen ausgearbeitete Beispiele und, wo möglich, eine Abbildung, welche die geometrische Bedeutung sichtbar macht. Die im Text verstreuten Bemerkungen weisen auf die häufigsten Fehler und auf die Feinheiten hin, die bei einer ersten Lektüre leicht übersehen werden. Die Übungen am Ende jedes Kapitels ermöglichen es, das Gelernte zu festigen und das Verständnis zu überprüfen. Das Buch setzt lediglich die Mathematik des ersten Studienjahres voraus - Mengen, Funktionen, elementare Trigonometrie - und erfordert keinerlei Vorkenntnisse der linearen Algebra. Es richtet sich an Studierende der Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften und Informatik, die eine solide Kompetenz in diesem Fachgebiet aufbauen möchten.